畢達哥拉斯樹

賈里德·伯根 2021年9月27日 喬治梅森大學(xué)數(shù)學(xué)401 本周的數(shù)學(xué)401：通過3D打印的數(shù)學(xué)，迭代函數(shù)系統(tǒng)！ IFS是使用數(shù)學(xué)中的自相似性生成分形圖的最常見方法，由旋轉(zhuǎn)、縮放和平移等變換組成。簡而言之，它們是一組使事物變小的變換，在適當(dāng)?shù)那闆r下可以變得無限小。 對于這個項目，我決定創(chuàng)建一棵畢達哥拉斯式的樹。從一個L的底方開始，在上面放一個三角形，L是斜邊。從那里，另外兩條邊(等長)現(xiàn)在是由一個邊生成的兩個新的長度為SQRT(L^2/2)的正方形的邊。這個過程可以無限地繼續(xù)，每個前面的正方形都有兩個正方形。由于每個三角形都是45-45-90，因此我們可以看到，接下來的每個迭代步驟都會將正方形旋轉(zhuǎn)45度，從而生成具有足夠迭代次數(shù)的樹形狀。 為了生成畢達哥拉斯式的樹，不是創(chuàng)建每個正方形，而是單獨創(chuàng)建基本正方形，并從那里將每對正方形生成為一個實心的“蝴蝶結(jié)”形狀。這樣做可以簡化每個方塊的旋轉(zhuǎn)和放置，每個方塊只需旋轉(zhuǎn)一次。每個領(lǐng)結(jié)都被放置在一個原點，也就是它應(yīng)該連接到上一個正方形的點上，并使用一個單獨的模塊繞該點旋轉(zhuǎn)。此過程以遞歸方式進行一定次數(shù)的迭代。從這里，最終的形狀被放在一個盤子里，以防止小塊印刷脫落(你可以在我的印刷品中看到，其中一塊印刷不正確，掉了下來)。 使用Monoprice MP精選迷你打印機總共需要大約4個小時。在OpenSCAD中設(shè)計項目時，渲染將不起作用，因為蝴蝶結(jié)的中點將多邊形分成兩部分。為了解決這個問題，我稍微作弊了一點，只需將0.01加到頂點，再從底點減去0.01，就可以使它成為一個實心的多邊形。雖然它在技術(shù)上不是數(shù)學(xué)上正確的，但它允許打印工作，我對它感到高興！ 有關(guān)迭代函數(shù)系統(tǒng)的更多信息，請訪問我在創(chuàng)建此對象時使用的這些站點：